13.99. Resorte con masa. En todos los problemas anteriores del capítulo, hemos supuesto que los resortes tienen masa despreciable aunque, desde luego, ningún resorte carece por completo de masa. Para determinar el efecto de la masa de un resorte, considere un resorte de masa M, con longitud de

 13.99. Resorte con masa. En todos los problemas anteriores del capítulo, hemos supuesto que los resortes tienen masa despreciable aunque, desde luego, ningún resorte carece por completo de masa. Para determinar el efecto de la masa de un resorte, considere un resorte de masa M, con longitud de equilibrio L0 y constante de fuerza k. Si el resorte se estira o comprime a una longitud L, la energía potencial es donde x 5 L 2 L0. a) Considere un resorte como éste con un extremo fijo y el otro en movimiento con rapidez v. Suponga que la rapidez de los puntos a lo largo del resorte varía linealmente con la distancia l al extremo fijo, y que la masa M del resorte está distribuida uniformemente a todo lo largo del resorte. Calcule la energía cinética del resorte en términos de M y v. (Sugerencia: divida el resorte en partes de longitud dl; determine la rapidez de cada parte en términos de l, v y L; determine la masa de cada parte en términos de dl, M y L; e integre de 0 a L. El resultado no es ya que no todo el resorte se mueve con la misma rapidez.) b) Obtenga la derivada de la ecuación de conservación de la energía (ecuación 13.21) con respecto al tiempo, para una masa m que se mueve en el extremo de un resorte sin masa. Comparando sus resultados con la ecuación (13.8), que define v, demuestre que la frecuencia angular de oscilación es c) Aplique el procedimiento del inciso b) para obtener la frecuencia angular de oscilación v del resorte considerado en el inciso a). Si la masa efectiva Mr del resorte está definida por exprese Mr en términos de M.