56. (III) Considere una parcela de aire que se mueve a una altitud diferente $y$ en la atmósfera de la Tierra (figura 19-33). Conforme la parcela cambia de altitud adquiere la presión $P$ del aire circundante. A partir de la ecuación 13-4 tenemos
$$
\frac{d P}{d y}=-\rho g
$$
donde $\rho$ es la densidad de masa dependiente de la altitud de la parcela. Durante este movimiento, el volumen de la parcela cambiará y, como el aire es un conductor deficiente, suponemos que esta expansión o contracción tendrá lugar de manera adiabática. a) A partir de la ecuación 19-15, $P V^{\gamma}=$ constante, demuestre que, para un gas ideal que experimenta un proceso adiabático, $P^{1-\gamma} T^{\gamma}=$ constante. Luego demuestre que la presión y la temperatura de la parcela se relacionan mediante
$$
(1-\gamma) \frac{d P}{d y}+\gamma \frac{P}{T} \frac{d T}{d y}=0
$$
y, por lo tanto,
$$
(1-\gamma)(-\rho g)+\gamma \frac{P}{T} \frac{d T}{d y}=0 .
$$
b) Use la ley del gas ideal con el resultado del inciso $a$ ) para demostrar que el cambio en la temperatura de la parcela con el cambio en altitud está dado por
$$
\frac{d T}{d y}=\frac{1-\gamma}{\gamma} \frac{m g}{k}
$$
donde $m$ es la masa promedio de una molécula de aire y $k$ es la constante de Boltzmann. $c$ ) Dado que el aire es un gas diatómico con una masa molecular promedio de 29 , demuestre que $d T / d y=-9.8 \mathrm{C}^{\circ} / \mathrm{km}$. Este valor se llama gradiente adiabático para aire seco. d) En California, los vientos occidentales prevalecientes descienden de una de las elevaciones más altas (la montañas de la Sierra Nevada de $4000 \mathrm{~m}$ ) a una de las elevaciones más bajas (Death Valley, $-100 \mathrm{~m}$ ) en la zona continental de Estados Unidos. Si un viento seco tiene una temperatura de $-5^{\circ} \mathrm{C}$ en lo alto de la Sierra Nevada, ¿cuál es la temperatura del viento después de descender a Death Valley?