67. (III) Una tubería cilíndrica tiene radio interior R1 y radio exterior R2. El interior de la tubería transporta agua caliente a temperatura T1. La temperatura exterior es T2 (, T1). a) De- muestre que la tasa de pérdida de calor para una longitud L de tubería es

 67. (III) Una tubería cilíndrica tiene radio interior $R_{1}$ y radio exterior $R_{2}$. El interior de la tubería transporta agua caliente a temperatura $T_{1}$. La temperatura exterior es $T_{2}\left(<T_{1}\right) . a$ ) Demuestre que la tasa de pérdida de calor para una longitud $L$ de tubería es
$$
\frac{d Q}{d t}=\frac{2 \pi k\left(T_{1}-T_{2}\right) L}{\ln \left(R_{2} / R_{1}\right)}
$$
donde $k$ es la conductividad térmica de la tubería. $b$ ) Suponga que la tubería es de acero $\operatorname{con} R_{1}=3.3 \mathrm{~cm}, R_{2}=4.0 \mathrm{~cm}$ y $T_{2}=$ $18^{\circ} \mathrm{C}$. Si la tubería contiene agua quieta a $T_{1}=71^{\circ} \mathrm{C}$, ¿cuál será la tasa inicial de cambio de su temperatura? $c$ ) Suponga que agua a $71^{\circ} \mathrm{C}$ entra a la tubería y se mueve a una rapidez de $8.0 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$. ¿Cuál será su descenso de temperatura por centímetro de viaje?