29.47. A través de una espira circular de alambre de radio a y resistencia $R$, pasa inicialmente un flujo magnético provocado por un campo magnético externo. Después, el campo externo disminuye a cero. Se induce una corriente en la espira mientras el campo externo está cambiando; sin embargo, esta corriente no se detiene en el instante en que el campo externo deja de cambiar. La razón es que la corriente, por sí misma, genera un campo magnético que da origen a un flujo a través de la espira. Si la corriente cambia, el flujo a través de la espira también cambia, y aparece una fem inducida en la espira que se opone al cambio. a) El campo magnético en el centro de la espira de radio $a$ producido por la corriente $i$ en la espira está dado por $B=\mu_{0} i / 2 a$. Si se usa la aproximación burda de que el campo tiene el mismo valor en todos los puntos dentro de la espira, ¿.cuál es el flujo de este campo a traves de la espira? b) Con base en la ley de Faraday, la ecuacion (29.3) y la relación $\mathcal{E}=i R$, demuestre que después de que el campo externo ha dejado de cambiar, la corriente en la espira obedece la ecuación diferencial
$$
\frac{d i}{d t}=-\left(\frac{2 R}{\pi \mu_{0} a}\right) i
$$
(c) Si la corriente tiene el valor $i_{0}$ en $t=0$, el instante en que el campo externo deja de cambiar, resuelva la ecuación del inciso $b$ ) para encon- trar $i$ como funcion del tiempo cuando $t>0$. (Sugerencia: en la sección $26.4$ se encontró una ecuación diferencial similar, la (26.15), para la cantidad $q$. Esta ecuación para $i$ se resuelve del mismo modo.) d) $\mathrm{Si}$ la espira tiene un radio $a=50 \mathrm{~cm}$ y resistencia $R=0.10 \Omega$, ¿cuánto tiempo después de que el campo externo deja de cambiar, la corriente será igual a $0.010 i_{0}$ (es decir, $\frac{1}{100}$ de su valor inicial)? e $\mathrm{Al}$ resolver los ejemplos de este capítulo ignoramos los efectos descritos en este problema. Explique por qué ésta es una buena aproximación.