\begin{equation} { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) =\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \end{equation}
Formula de Rodriguez.
\begin{equation} { P }_{ l }\left( x \right) =\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l } }{ { dx }^{ l } } { \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l } \end{equation}
Demostrar que:
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx=\frac { 2 }{ 2l+1 } \frac { \left( l+m \right) ! }{ \left( l-m \right) ! } { \delta }_{ ll' } } \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx=\int _{ -1 }^{ 1 }{ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \frac { { d }^{ m }{ P }_{ l' }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } dx } } \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx=\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left[ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \right] \frac { { d }^{ m }{ P }_{ l' }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } dx } } \end{equation}
Aplicando integración por partes.
\begin{equation} -\int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { d }{ dx } \left[ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \right] \frac { { d }^{ m-1 }{ P }_{ l' }\left( x \right) }{ { dx }^{ m-1 } } dx } \end{equation}
Integrando (m) veces.
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx } ={ \left( -1 \right) }^{ m }\int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left[ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \right] { P }_{ l' }\left( x \right) dx } \end{equation}
Aplicando la derivada para términos mas altos.
\begin{equation} \frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left[ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \right] ={ \left( -1 \right) }^{ m }\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { \left( 2l \right) ! }{ l! } \frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left[ { x }^{ 2m }\frac { { d }^{ m }{ x }^{ l } }{ { dx }^{ m } } \right] \end{equation}\\
Nota: Se utilizo la formula de Rodriguez.
\begin{equation} { P }_{ l }\left( x \right) =\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l } }{ { dx }^{ l } } { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ l } \end{equation}
Para términos mas grandes.
\begin{equation} { P }_{ l }\left( x \right) =\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l } }{ { dx }^{ l } } { x }^{ 2l } \end{equation}
\begin{equation} { P }_{ l }\left( x \right) =\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { 2l! }{ l! } { x }^{ l } \end{equation}
\begin{equation} \frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left[ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \right] ={ \left( -1 \right) }^{ m }\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { \left( 2l \right) ! }{ l! } \frac { l! }{ \left( l-m \right) ! } \frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left( { x }^{ m+l } \right) \end{equation}
\begin{equation} \frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left[ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \right] ={ \left( -1 \right) }^{ m }\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { \left( 2l \right) ! }{ l! } \frac { l! }{ \left( l-m \right) ! } \frac { \left( l+m \right) ! }{ l! } { x }^{ l } \end{equation}
\begin{equation} \frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left[ { \left( { 1-x }^{ 2 } \right) }^{ m }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l }\left( x \right) }{ { dx }^{ m } } \right] ={ \left( -1 \right) }^{ m }\frac { \left( l+m \right) ! }{ \left( l-m \right) ! } { P }_{ l }\left( x \right) \end{equation}
Remplazo (47) en (40).
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx } ={ \left( -1 \right) }^{ 2m }\int _{ -1 }^{ 1 }{ { \frac { \left( l+m \right) ! }{ \left( l-m \right) ! } }{ P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx } \end{equation}
Ahora:
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ }\left( x \right) dx=\frac { 1 }{ { 2 }^{ l+l' }l!l'! } \int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { { d }^{ l }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l } }{ { dx }^{ l } } { \frac { { d }^{ l' }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l' } }{ { dx }^{ l' } } }dx } } \end{equation}
Integrando l veces se obtiene:
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ }\left( x \right) dx=\frac { 1 }{ { 2 }^{ l+l' }l!l'! } { \left( -1 \right) }^{ l }\int _{ -1 }^{ 1 }{ { \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l }{ \frac { { d }^{ l+l' }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l' } }{ { dx }^{ l+l' } } }dx } } \end{equation}
{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l' }, es el polinomio de orden 2l' y si l'<l, sera diferenciado mas de 2l' veces, entonces de debe tener la siguiente condición.
l+l'<2l'
l'\ge l
Entonces, para l'\neq l
\begin{equation} \frac { { d }^{ l+l' }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l' } }{ { dx }^{ l+l' } } =0 \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ }\left( x \right) dx=0 } \end{equation}
Para l=l'
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ }\left( x \right) dx=\frac { 1 }{ { 2 }^{ 2l }{ \left( l! \right) }^{ 2 } } { \left( -1 \right) }^{ l } } \int _{ -1 }^{ 1 }{ { \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l }{ \frac { { d }^{ 2l }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l } }{ { dx }^{ 2l } } }dx } \end{equation}
\begin{equation} { \frac { { d }^{ 2l }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l } }{ { dx }^{ 2l } } }=\left( 2l \right) ! \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { { \left[ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) \right] }^{ 2 } }dx=\frac { { \left( -1 \right) }^{ l } }{ { 2 }^{ 2l }{ \left( l! \right) }^{ 2 } } \left( 2l \right) ! } \int _{ -1 }^{ 1 }{ { \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l }dx } \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { \left( { x }^{ 2 }-1 \right) }^{ l }dx } =\frac { { \left( -1 \right) }^{ l }{ 2 }^{ l+1 }l! }{ \left( 2l+1 \right) } \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { { \left[ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) \right] }^{ 2 } }dx=\frac { { \left( -1 \right) }^{ 2l }{ 2 }^{ l+1 }l! }{ \left( 2l+1 \right) } \frac { \left( 2l \right) ! }{ { 2 }^{ 2l }{ \left( l! \right) }^{ 2 } } } \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ }\left( x \right) dx } =\frac { 2 }{ \left( 2l+1 \right) } { \delta }_{ ll' } \end{equation}
Por lo tanto.
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx } =\frac { \left( l+m \right) ! }{ \left( l-m \right) ! } \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ }\left( x \right) dx } \end{equation}
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx } =\frac { 2 }{ \left( 2l+1 \right) } { \frac { \left( l+m \right) ! }{ \left( l-m \right) ! } { \delta }_{ ll' } } \end{equation}
Si l'\neq l
\begin{equation} \int _{ -1 }^{ 1 }{ { P }_{ l }^{ m }\left( x \right) { P }_{ l' }^{ m }\left( x \right) dx } =0 \end{equation}
