\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ -m }(x)=\frac { { (1-{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l-m } }{ { dx }^{ l-m } } ({ x }^{ 2 }-1)^{ l }
\end{equation}
\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ -m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (l-m)! }{ (l+m)! } { P }_{ l }^{ m }(x)
\end{equation}
Demostración
\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } }\frac { { d }^{ l+m } }{ { dx }^{ l+m } } { (x }^{ 2 }-1)^{ l }
\end{equation}
\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l+m } }{ { dx }^{ l+m } } { (x }-1)^{ l }{ (x }+1)^{ l }
\end{equation}
Aplicando la regla de Leibniz
\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l+m } }{ { dx }^{ l+m } } { (x }-1)^{ l }{ (x }+1)^{ l }
\end{equation}
\begin{equation}
= \frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \sum _{ r=0 }^{ l+m }{ \frac { (l+m)! }{ r!(l+m+r)! } \frac { { d }^{ l+m-r } }{ { dx }^{ l+m-r } } { (x }-1)^{ l } } r\frac { { d }^{ r } }{ { dx }^{ r } } (x+1)^{ l }
\end{equation}
$(x-1)^{l}$ desaparece cuando l+m-r $>$ l entonces para que esto no ocurra se utiliza la siguiente condición:
\begin{equation}
l+m-r \le l
\end{equation}
igualmente para $(x+1)^{l}$ desaparece cuando r $>$ l, por lo tanto la condición es:
\begin{equation}
r \le l
\end{equation}
sumando las dos anteriores ecuaciones obtenemos
\begin{equation}
m \le l
\end{equation}
\begin{equation}
m = l
\end{equation}
restando las mismas dos ecuaciones anteriores se obtiene
\begin{equation}
r=l\quad \quad \quad \quad \quad O\quad \quad \quad \quad \quad r=m
\end{equation}
Entonces la sumatoria va en los siguientes limites:
m $\le$ r $\le$ l
\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \sum _{ r=m }^{ l }{ \frac { (l+m)! }{ r!(l+m-r)! } \frac { l! }{ (r-m)! } { (x }-1)^{ r-m } } (x-1)^{ r-m }\frac { l! }{ (l-r)! } (x+1)^{ l-r }
\end{equation}
Sea r$'$=l-r
\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } ({ x }^{ 2 }-1)^{ m }\sum _{ r'=0 }^{ l-m }{ \frac { (l+m)! }{ (r'+m)!(l-r')! } \frac { l! }{ r! } { (x }-1)^{ r' } } \frac { l! }{ (l-m-r')! } (x+1)^{ l-m-r' }
\end{equation}
\begin{equation}
=\frac { (-1)^{ m }(1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { (l+m)! }{ (l-m)! } \sum _{ r'=0 }^{ l-m }{ \frac { (l+m)! }{ r'!(l-m-r')! } \frac { l! }{ (r'+m)! } { (x }-1)^{ r'+m } } \frac { l! }{ (l-r')! } (x+l)^{ l-r' }
\end{equation}
\begin{equation}
=(-1)^{ m }\frac { (l+m)! }{ (l-m)! } \frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \sum _{ r'=0 }^{ l-m }{ \frac { (l-m)! }{ r'!(l-m-r')! } \frac { { d }^{ l-m-r' } }{ { dx }^{ l-m-r' } } { (x }-1)^{ l } } \frac { { d }^{ r' } }{ { dx }^{ r' } } (x+1)^{ l }
\end{equation}
\begin{equation}
=(-1)^{ m }\frac { (l+m)! }{ (l-m)! } \frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l-m } }{ { dx }^{ l-m } } { (x }^{ 2 }-1)^{ l }
\end{equation}
\begin{equation}
{ P }_{ l }^{ m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (l+m)! }{ (l-m)! } { P }_{ l }^{ -m }(x)
\end{equation}
\begin{equation} \boxed{
{ P }_{ l }^{ -m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (l-m)! }{ (l+m)! } { P }_{ l }^{ m }(x)}
\end{equation}