\begin{equation} { P }_{ l }^{ -m }(x)=\frac { { (1-{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l-m } }{ { dx }^{ l-m } } ({ x }^{ 2 }-1)^{ l } \end{equation}
\begin{equation} { P }_{ l }^{ -m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (l-m)! }{ (l+m)! } { P }_{ l }^{ m }(x) \end{equation}
Demostración
\begin{equation} { P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } }\frac { { d }^{ l+m } }{ { dx }^{ l+m } } { (x }^{ 2 }-1)^{ l } \end{equation}
\begin{equation} { P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l+m } }{ { dx }^{ l+m } } { (x }-1)^{ l }{ (x }+1)^{ l } \end{equation}
Aplicando la regla de Leibniz
\begin{equation} { P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l+m } }{ { dx }^{ l+m } } { (x }-1)^{ l }{ (x }+1)^{ l } \end{equation}
\begin{equation} = \frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \sum _{ r=0 }^{ l+m }{ \frac { (l+m)! }{ r!(l+m+r)! } \frac { { d }^{ l+m-r } }{ { dx }^{ l+m-r } } { (x }-1)^{ l } } r\frac { { d }^{ r } }{ { dx }^{ r } } (x+1)^{ l } \end{equation}
(x-1)^{l} desaparece cuando l+m-r > l entonces para que esto no ocurra se utiliza la siguiente condición:
\begin{equation} l+m-r \le l \end{equation}
igualmente para (x+1)^{l} desaparece cuando r > l, por lo tanto la condición es:
\begin{equation} r \le l \end{equation}
sumando las dos anteriores ecuaciones obtenemos
\begin{equation} m \le l \end{equation}
\begin{equation} m = l \end{equation}
restando las mismas dos ecuaciones anteriores se obtiene
\begin{equation} r=l\quad \quad \quad \quad \quad O\quad \quad \quad \quad \quad r=m \end{equation}
Entonces la sumatoria va en los siguientes limites:
m \le r \le l
\begin{equation} { P }_{ l }^{ m }(x)=\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \sum _{ r=m }^{ l }{ \frac { (l+m)! }{ r!(l+m-r)! } \frac { l! }{ (r-m)! } { (x }-1)^{ r-m } } (x-1)^{ r-m }\frac { l! }{ (l-r)! } (x+1)^{ l-r } \end{equation}
Sea r'=l-r
\begin{equation} { P }_{ l }^{ m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } ({ x }^{ 2 }-1)^{ m }\sum _{ r'=0 }^{ l-m }{ \frac { (l+m)! }{ (r'+m)!(l-r')! } \frac { l! }{ r! } { (x }-1)^{ r' } } \frac { l! }{ (l-m-r')! } (x+1)^{ l-m-r' } \end{equation}
\begin{equation} =\frac { (-1)^{ m }(1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { (l+m)! }{ (l-m)! } \sum _{ r'=0 }^{ l-m }{ \frac { (l+m)! }{ r'!(l-m-r')! } \frac { l! }{ (r'+m)! } { (x }-1)^{ r'+m } } \frac { l! }{ (l-r')! } (x+l)^{ l-r' } \end{equation}
\begin{equation} =(-1)^{ m }\frac { (l+m)! }{ (l-m)! } \frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \sum _{ r'=0 }^{ l-m }{ \frac { (l-m)! }{ r'!(l-m-r')! } \frac { { d }^{ l-m-r' } }{ { dx }^{ l-m-r' } } { (x }-1)^{ l } } \frac { { d }^{ r' } }{ { dx }^{ r' } } (x+1)^{ l } \end{equation}
\begin{equation} =(-1)^{ m }\frac { (l+m)! }{ (l-m)! } \frac { (1-{ x }^{ 2 })^{ \frac { -m }{ 2 } } }{ { 2 }^{ l }l! } \frac { { d }^{ l-m } }{ { dx }^{ l-m } } { (x }^{ 2 }-1)^{ l } \end{equation}
\begin{equation} { P }_{ l }^{ m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (l+m)! }{ (l-m)! } { P }_{ l }^{ -m }(x) \end{equation}
\begin{equation} \boxed{ { P }_{ l }^{ -m }(x)=(-1)^{ m }\frac { (l-m)! }{ (l+m)! } { P }_{ l }^{ m }(x)} \end{equation}
