ECUACION DE ONDA
{ \nabla }^{ 2 }\varphi =\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }\varphi }{ \partial { { t }^{ 2 } } }
{ \nabla }^{ 2 }\varphi =\frac { { \partial }^{ 2 }\varphi }{ \partial { r^{ 2 } } } +\frac { 2 }{ r } \frac { { \partial }\varphi }{ \partial { r } } +\frac { 1 }{ { r }^{ 2 }sin\theta } \frac { { \partial } }{ \partial { \theta } } \left( sin\theta \frac { { \partial }\varphi }{ \partial \theta } \right) +\frac { 1 }{ { r }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta } \frac { { \partial }^{ 2 }\varphi }{ \partial { \phi ^{ 2 } } }
sea: \varphi \left( r,\theta ,\phi \right) =R\left( r \right) \Theta \left( \theta \right) \Phi \left( \phi \right) T\left( t \right)
\begin{equation} \Theta \Phi T\frac { { d }^{ 2 }R }{ d{ r^{ 2 } } } +\frac { 2 }{ r } \Theta \Phi T\frac { { d }R }{ d{ r } } +\frac { R\Phi T }{ { r }^{ 2 }sin\theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +\frac { R\Theta T }{ { r }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } } =\frac { \Theta \Phi R }{ { c }^{ 2 } } \frac { { d }^{ 2 }T }{ d{ t^{ 2 } } } \end{equation}
Luego se divide la ecuación (1) por \Theta \Phi RT,
\frac { 1 }{ R } \frac { { d }^{ 2 }R }{ d{ r^{ 2 } } } +\frac { 2 }{ r } \frac { 1 }{ R } \frac { { d }R }{ d{ r } } +\frac { 1 }{ \Theta { r }^{ 2 }sin\theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +\frac { 1 }{ { \Phi r }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ { c }^{ 2 }T } \frac { { d }^{ 2 }T }{ d{ t^{ 2 } } }
Separando variables:
\textbf{PARA EL TIEMPO (t):}
\frac { 1 }{ { c }^{ 2 }T } \frac { { d }^{ 2 }T }{ d{ t^{ 2 } } } =\quad \lambda
\begin{equation} \frac { { d }^{ 2 }T }{ d{ t^{ 2 } } } -\lambda { c }^{ 2 }T=\quad 0 \end{equation}
Donde \lambda=-\frac { { w }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } = { -k }^{ 2 } y la solución es:
\begin{equation} T\left( t \right) =A{ e }^{ -iwt } \end{equation}
\textbf{PARA (r):}
\left( \frac { 1 }{ R } \frac { { d }^{ 2 }R }{ d{ r^{ 2 } } } +\frac { 2 }{ r } \frac { 1 }{ R } \frac { { d }R }{ d{ r } } +\frac { 1 }{ \Theta { r }^{ 2 }sin\theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +\frac { 1 }{ { \Phi r }^{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } } =\quad \lambda \quad \right) *{ r }^{ 2 }
\frac { { r }^{ 2 } }{ R } \frac { { d }^{ 2 }R }{ d{ r^{ 2 } } } +\frac { 2r }{ R } \frac { { d }R }{ d{ r } } +\frac { 1 }{ \Theta sin\theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +\frac { 1 }{ { \Phi }{ sin }^{ 2 }\theta } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } } =\quad \lambda { r }^{ 2 }
\frac { { r }^{ 2 } }{ R } \frac { { d }^{ 2 }R }{ d{ r^{ 2 } } } +\frac { 2r }{ R } \frac { { d }R }{ d{ r } } -\lambda { r }^{ 2 }=\quad -\frac { 1 }{ \Theta sin\theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) -\frac { 1 }{ { \Phi }{ sin }^{ 2 }\theta } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } }
\frac { { r }^{ 2 } }{ R } \frac { { d }^{ 2 }R }{ d{ r^{ 2 } } } +\frac { 2r }{ R } \frac { { d }R }{ d{ r } } -\lambda { r }^{ 2 }=\quad -{ \lambda }_{ 2 }
multiplicando por \textbf{R
} en ambos lados de la ecuación anterior se obtiene,
\begin{equation} \frac { { d }^{ } }{ d{ r^{ } } } \left( { r }^{ 2 }\frac { { d }R }{ d{ r } } \right) +(-\lambda { r }^{ 2 }+{ \lambda }_{ 2 })R=\quad 0 \end{equation}
\textbf{PARA (\phi ):}
\begin{equation} -\frac { 1 }{ \Theta sin\theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) -\frac { 1 }{ { \Phi }{ sin }^{ 2 }\theta } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } } =-{ \lambda }_{ 2 } \end{equation}
Multiplicando la ecuación (5) por { sin }^{ 2 }\theta se obtiene,
-\frac { sin\theta }{ \Theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +{ \lambda }_{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta =\frac { 1 }{ { \Phi } } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } }
\frac { 1 }{ { \Phi } } \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } } ={ \lambda }_{ 1 }
\begin{equation} \frac { { d }^{ 2 }\Phi }{ d{ \phi ^{ 2 } } } -{ \lambda }_{ 1 }\Phi =0 \end{equation}
Donde \lambda_{1}=-{m}^{2} y la solución es:
\begin{equation} \Phi \left( \phi \right) =B{ e }^{ \pm im\phi } \end{equation}
\textbf{PARA (\theta ):}
\begin{equation} -\frac { sin\theta }{ \Theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +{ \lambda }_{ 2 }{ sin }^{ 2 }\theta =\quad { \lambda }_{ 1 } \end{equation}
Dividiendo la ecuación (8) por { sin }\theta obtenemos,
-\frac { 1 }{ \Theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +{ \lambda }_{ 2 }{ sin }\theta =\quad \frac { { \lambda }_{ 1 } }{ sin\theta }
\begin{equation} \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +\left( -{ \lambda }_{ 2 }{ sin }\theta \quad +\frac { { \lambda }_{ 1 } }{ sin\theta } \right) \Theta =\quad 0\quad \end{equation}
\textbf{sea x=cos\theta , \Theta =y y \lambda_{1}=-{m}^{2}. luego dividimos la ecuación (9) por sin\theta
}
\frac { 1 }{ sin\theta } \frac { { d } }{ d{ \theta } } \left( sin\theta \frac { { d }\Theta }{ d\theta } \right) +\left( -{ \lambda }_{ 2 }\quad +\frac { { \lambda }_{ 1 } }{ { sin }^{ 2 }\theta } \right) \Theta =\quad 0\quad
\begin{equation} \frac { { { d }^{ 2 }y } }{ d{ { \theta }^{ 2 } } } +\frac { cos\theta }{ sin\theta } \frac { dy }{ d\theta } \left( -{ \lambda }_{ 2 }\quad -\frac { { m }^{ 2 } }{ { sin }^{ 2 }\theta } \right) y=\quad 0\quad \end{equation}
\frac { { { d }^{ } } }{ d{ { \theta }^{ } } } =\frac { d }{ dx } \frac { dx }{ d\theta } =-sin\theta \frac { d }{ dx }
\frac { { { d }^{ 2 } } }{ d{ { \theta }^{ 2 } } } =\frac { d }{ d\theta } \left( \frac { d }{ d\theta } \right) =\frac { d }{ d\theta } \left( -sin\theta \frac { d }{ dx } \right) =-cos\theta \frac { d }{ dx } -sin\theta \frac { d }{ d\theta } \left( \frac { d }{ dx } \right) =-cos\theta \frac { d }{ dx } +{ sin }^{ 2 }\theta \frac { { { d }^{ 2 } } }{ d{ { x }^{ 2 } } }
Ahora reemplazando en la ecuación (10)
-cos\theta \frac { dy }{ dx } +{ sin }^{ 2 }\theta \frac { { { d }^{ 2 }y } }{ d{ { x }^{ 2 } } } -cos\theta \frac { dy }{ dx } +\left( -{ \lambda }_{ 2 }\quad -\frac { { m }^{ 2 } }{ { sin }^{ 2 }\theta } \right) y=\quad 0\quad
{ sin }^{ 2 }\theta \frac { { { d }^{ 2 }y } }{ d{ { x }^{ 2 } } } -2cos\theta \frac { dy }{ dx } +\left( -{ \lambda }_{ 2 }\quad -\frac { { m }^{ 2 } }{ { sin }^{ 2 }\theta } \right) y=\quad 0\quad
sea , { sin }^{ 2 }\theta= 1-{ cos }^{ 2 }\theta= 1-{ x }^{ 2 } , y={ P }_{ l }^{ m } y reemplazo en la anterior ecuación.
\begin{equation} \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { { d }^{ 2 }{ P }_{ l }^{ m } } }{ d{ { x }^{ 2 } } } -2x\frac { d{ P }_{ l }^{ m } }{ dx } +\left( -{ \lambda }_{ 2 }\quad -\frac { { m }^{ 2 } }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) } \right) { P }_{ l }^{ m }=\quad 0 \end{equation}
La anterior ecuación es la \textbf{ecuacioón asociada de legendre}. esta llega aser un valor propio de la ecuación para
\lambda_2 si requerimos que la solución sea finita en los puntos singulares x=\pm 1 un metodo conveniente od investigar las funciones propias es determinar primero su comportamientos en estos puntos singulares. para este proposito, transladamos el origen a x=1 introduciendo una nueva variable independiente.
z=1-x
sea , y={ P }_{ l }^{ m }
Por lo que la ecuación (11) se transforma en,
\begin{equation} z\left( 2-z \right) \frac { { { d }^{ 2 }y } }{ d{ { z }^{ 2 } } } -2(1-z)\frac { dy }{ dz } +\left( -{ \lambda }_{ 2 }\quad -\frac { { m }^{ 2 } }{ z\left( 2-z \right) } \right) =\quad 0 \end{equation}
Ahora resolviendo por el método de Frobenious.
y(z)={ z }^{ k }\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n } }
\frac { dy }{ dz } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k){ z }^{ n+k-1 } }
\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ z }^{ 2 } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k+-1){ z }^{ n+k-2 } }
Reemplazo lo anterior en la ecuación (12) y multiplico por z\left( 2-z \right) .
(4{ z }^{ 2 }-4{ z }^{ 3 }+{ z }^{ 4 })\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k+-1){ z }^{ n+k-2 } } +(4{ z }-6{ z }^{ 2 }+2{ z }^{ 3 })\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k){ z }^{ n+k-1 } } +\quad \left[ -{ \lambda }_{ 2 }(2z-{ z }^{ 2 })-{ m }^{ 2 } \right] \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n+k } } =0
sea \alpha=(n+k)(n+k+-1) y \beta=(n+k)
4\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }\alpha { z }^{ n+k } } -4\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }\alpha { z }^{ n+k+1 } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }\alpha { z }^{ n+k+2 } } +4{ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }\beta { z }^{ n+k } } }-6\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }\beta { z }^{ n+k+1 } } +2\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }\beta { z }^{ n+k+2 } } +\quad -{ 2\lambda }_{ 2 }\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n+k+1 } } +{ { \lambda }_{ 2 } }\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n+k+2 } } -{ m }^{ 2 }\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n+k } } =00
Ahora factorizando términos semejantes,
(4\alpha -{ m }^{ 2 }+4\beta )\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n+k } } +(-4\alpha -6\beta -{ 2\lambda }_{ 2 })\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n+k+1 } } +(\alpha +2\beta +{ { \lambda }_{ 2 } })\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ z }^{ n+k+2 } } =0
Luego expandiendo se obtiene que:
\left[ { 4k }^{ 2 }-{ m }^{ 2 } \right] { a }_{ 0 }{ z }^{ k }+...=0
Como solo necesitamos las raíces no es necesario expandir completamente la serie. Las raíces son las siguientes:
k=\pm \frac { m }{ 2 }
Donde solo las ráices positiva son aceptables. por ende la solución esperada será de la forma:
y(x)={ (1-x) }^{ \frac { m }{ 2 }}f(x)
donde f(x) es una función alalítica y no desvanecente en x=1.
La investigación del comportamiento de y(x) cerca de x=-1 puede ser llevado a cabo por sustitución z=1+x en la cual al ser reemplazado esta expresión en la ecuación (11) queda de la misma forma que la ecuación (12). por lo que revela que la solución esperada será de la forma
y(x)={ (1+x) }^{ \frac { m }{ 2 }}g(x)
Donde g(x) es una función que es analítica y no se desvanece en x=-1. consecuentemente la solución aceptable y(x) debe ser de la forma:
y(x)={ (1-{ x }^{ 2 }) }^{ \frac { m }{ 2 } }u(x)
Donde u(x) deberia ser analítica sobre el entero plano x complejo.
Ahora vamos a investigar el valor de \lambda_2 partiendfo desde la ecuación (12) siendo m=0 y { P }_{ l }^{ m }=y.
\begin{equation} \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { { d }^{ 2 }y } }{ d{ { x }^{ 2 } } } -2x\frac { dy }{ dx } -{ \lambda }_{ 2 }y=\quad 0 \end{equation}
Derivamos m veces la ecuación (13).
\frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left( \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { { d }^{ 2 }y } }{ d{ { x }^{ 2 } } } \right) -2\frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } \left( x\frac { dy }{ dx } \right) -{ \lambda }_{ 2 }\frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } y=\quad 0
Aplicando la regla de Leibniz obtenemos.
\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { { d }^{ m+2 }y } }{ d{ { x }^{ m+2 } } } -2x(m+1)\frac { { d }^{ m+1 }y }{ { dx }^{ m+1 } } -{ (\lambda }_{ 2 }+m(m-1)+2m)\frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } y=\quad 0
\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { { d }^{ m+2 }y } }{ d{ { x }^{ m+2 } } } -2x(m+1)\frac { { d }^{ m+1 }y }{ { dx }^{ m+1 } } -{ (\lambda }_{ 2 }+{ m }^{ 2 }+m)\frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } y=\quad 0
sea u=\frac { { d }^{ m } }{ { dx }^{ m } } y,
\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { { d }^{ 2 }u } }{ d{ { x }^{ 2 } } } -2x(m+1)\frac { { d }u }{ { dx } } -{ (\lambda }_{ 2 }+{ m }^{ 2 }+m)u=\quad 0\quad \quad \quad \quad (m\ge 0)
Ahora resolviendo por el método de Frobenius:
u(x)=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ X}^{ n+k } }
\frac { du }{ dx } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k){ X }^{ n+k-1 } }
\frac { { d }^{ 2 }u }{ d{ x }^{ 2 } } =\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k+-1){ X }^{ n+k-2 } }
\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k-1){ X }^{ n+k-2 } } -2x(m+1)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k){ X }^{ n+k-1 } } -{ (\lambda }_{ 2 }+{ m }^{ 2 }+m)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ X }^{ n+k } } =\quad 0\quad
1\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k+-1){ X }^{ n+k-2 } } -\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k+-1){ X }^{ n+k } } -2(m+1)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k){ X }^{ n+k } } -{ (\lambda }_{ 2 }+{ m }^{ 2 }+m)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ X }^{ n+k } } =\quad 0
1\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k-1){ X }^{ n+k-2 } } -\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k+-1){ X }^{ n+k } } -2(m+1)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k){ X }^{ n+k } } -{ (\lambda }_{ 2 }+{ m }^{ 2 }+m)\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }{ X }^{ n+k } } =\quad 0
Factorizando ,
\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }(n+k)(n+k-1){ X }^{ n+k-2 } }
-\left( (n+k)(n+k+-1)+2(m+1)(n+k)+{ (\lambda }_{ 2 }+{ m }^{ 2 }+m) \right) \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }^{ n+k } } { X }^{ n+k }=0
Expandiendo y factorizando términos semejantes se obtiene:
\left[ { a }_{ 0 }(k)(k-1) \right] =0
Raíces= k=0 y k=1
\left[ { a }_{ 1 }(k+1)(k) \right] =0
\left[ { a }_{ 2 }(k+2)(k+1) \right] -{ a }_{ 0 }\left[ k(k-1)+2(m+1)k+{ \lambda }_{ 2 }+m+{ m }^{ 2 } \right] =0
\left[ { a }_{ 3 }(k+3)(k+2) \right] -{ a }_{ 1 }\left[ (k+1)(k)+2(m+1)(k+1)+{ \lambda }_{ 2 }+m+{ m }^{ 2 } \right] =0
\left[ { a }_{ 4 }(k+4)(k+3) \right] -{ a }_{ 2 }\left[ (k+2)(k+1)+2(m+1)(k+2)+{ \lambda }_{ 2 }+m+{ m }^{ 2 } \right] =0
\left[ { a }_{ 5 }(k+5)(k+4) \right] -{ a }_{ 3 }\left[ (k+3)(k+2)+2(m+1)(k+3)+{ \lambda }_{ 2 }+m+{ m }^{ 2 } \right] =0
Formula de recurrencia:
{ a }_{ n+2 }\quad \quad =\quad \frac { { a }_{ n }\left[ (k+n)(k+n-1)+2(m+1)(k+n)+{ \lambda }_{ 2 }+m+{ m }^{ 2 } \right] }{ (k+2+n)(k+1+n) }
Para cuando k=0.
\begin{equation} { a }_{ n+2 }\quad \quad =\quad \frac { { a }_{ n }\left[ (n)(n-1)+2(m+1)(n)+{ \lambda }_{ 2 }+m+{ m }^{ 2 } \right] }{ (n+2)(n+1) } \end{equation}
Cuando n_o tienda infinito se obtiene que :
{ a }_{ { n }_{ o }+2 }\quad \quad =\quad { a }_{ { n }_{ o } }
Lo que significa que diverge cuando \left| x \right| =1, por lo tanto recortamos la serie de la siguiente manera.
(n)(n-1)+2(m+1)(n)+{ \lambda }_{ 2 }+m+{ m }^{ 2 }=0
Ahora resolviendo para \lambda_2
{ \lambda }_{ 2 }=-(m+n)(m+n+1)
sea (m+n)=l, entonces la ecuación anterior se convierte en :
\begin{equation} { \lambda }_{ 2 }=-l(l+1) \end{equation}
Donde l es un entero no mas pequeño que m, y la serie terminará después de (l-m)-termino.
Ahora resolveremos la ecuación de legendre cuando m=0.
(1-{ x }^{ 2 })y''-2xy'+l(l+1)y=0
Derivo m veces:
\frac { { d }^{ m } }{ d{ x }^{ m } } \left[ (1-{ x }^{ 2 })\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } \right] -2\frac { { d }^{ m } }{ d{ x }^{ m } } \left[ x\frac { { d }^{ }y }{ d{ x }^{ } } \right] +l(l+1)\frac { { d }^{ m }y }{ d{ x }^{ m } } =0
Aplico formula de Leibniz:
(1-{ x }^{ 2 })\frac { { d }^{ m+2 }y }{ d{ x }^{ m+2 } } -2xm\frac { { d }^{ m+1 }y }{ d{ x }^{ m+1 } } -m(m-1)\frac { { d }^{ m }y }{ d{ x }^{ m } } -2\left[ x\frac { { d }^{ m+1 }y }{ d{ x }^{ m+1 } } +m\frac { { d }^{ m }y }{ d{ x }^{ m } } \right] +l(l+1)\frac { { d }^{ m }y }{ d{ x }^{ m } } =0
Simplificando la ecuación anterior obtenemos,
(1-{ x }^{ 2 })\frac { { d }^{ m+2 }y }{ d{ x }^{ m+2 } } -2x(m+1)\frac { { d }^{ m+1 }y }{ d{ x }^{ m+1 } } +(l-m)(l+m+1)\frac { { d }^{ m }y }{ d{ x }^{ m } } =0
sea: u(x)={ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { m }{ 2 } }v(x)
(1-{ x }^{ 2 })\frac { { d }^{ 2 }u }{ d{ x }^{ 2 } } -2x(m+1)\frac { { d }^{ }u }{ d{ x }^{ } } +(l-m)(l+m+1)y=0
Luego tomamos nuestra hacemos cambio de variable por :u={ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { m }{ 2 } }v
Reemplazando y derivando con sus respectivas variables llegamos a la siguiente ecuación,
{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ }v''\quad -2xv'+\left[ l(l+1)-{ m }^{ 2 }-\frac { { { m }^{ 2 }x }^{ 2 } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right] v=0
Simplificando,
{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ }v''\quad -2xv'+\left[ l(l+1)-\frac { { { m }^{ 2 } } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right] v=0
La anterior ecuación tiene la forma de la ecuación asociada de legendre donde solo se requerira un cambio de variable para obtener como tal la asociada de legendre.
Sea v={ P }_{ l }^{ m },entonces obtenemos :
{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ }{ \frac { { d }^{ 2 }{ P }_{ l }^{ m } }{ { dx }^{ 2 } } }\quad -2x\frac { { d }^{ }{ P }_{ l }^{ m } }{ { dx }^{ } } +\left[ l(l+1)-\frac { { { m }^{ 2 } } }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right] { P }_{ l }^{ m }=0\\
Esto nos lleva a las funciones propias de la ecuación asociada de legendre en la forma
{ P }_{ l }^{ m }={ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ \frac { m }{ 2 } }\frac { { d }^{ m }{ P }_{ l } }{ { dx }^{ m } }
