A f(x)=\quad N{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } } y F(k)=\quad N\sqrt { \frac { 1 }{ 2\alpha } } { e }^{ \frac { -{ k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx }
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad N\sqrt { \frac { 1 }{ 2\alpha } } { e }^{ \frac { -{ k }^{ 2 } }{ 4\alpha } } \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad N{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } } \right| }^{ 2 }dx }
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { N }^{ 2 }\frac { 1 }{ 2\alpha } { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { N }^{ 2 }{ e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx }
\begin{equation} \frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } { N }^{ 2 }\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx } \quad (1) \end{equation}
Resolviendo la integral del lado izquierdo de la ecuación (1) con una sustitución siendo u=\frac { k }{ \sqrt { 2\alpha } } y \sqrt { 2\alpha } du=dk.
\frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \sqrt { 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -{ u }^{ 2 } }du\quad }
\frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -{ u }^{ 2 } }du\quad }
Utilizando la identidad de la siguiente integral especial ;
\begin{equation} \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -{ u }^{ 2 } }du }= \sqrt { \pi } \quad (2) \end{equation}
Se obtiene la siguiente solución:
\begin{equation} \frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi } \end{equation}
Ahora resolviendo la integral del lado derecho de la ecuación (1)a través de una sustitución siendo w=\sqrt { 2\alpha } x y \frac { dw }{ \sqrt { 2\alpha } } =dx.
{ N }^{ 2 }\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx } =\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -{ w }^{ 2 } } }dw }
Utilizando la misma propiedad de la ecuación (2) se obtiene la siguiente solución:
\begin{equation} { N }^{ 2 }\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx } =\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi } \end{equation}
Reemplazando la ecuación (3) y (4) en la ecuación (1) se verifica que se cumple satisfactoriamente el primer teorema de parseval.
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx }
\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi } =\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi }
B. f(x)=\quad \frac { a }{ { x }^{ 2 }+a^{ 2 } } y
F(k)=\quad \sqrt { \frac { \pi }{ 2 } } { e }^{ -ka }
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx }
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad \sqrt { \frac { \pi }{ 2 } } { e }^{ -ka } \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \frac { a }{ { x }^{ 2 }+a^{ 2 } } \right| }^{ 2 }dx }
\begin{equation} \frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } \end{equation}
Se resuelve la integral del lado izquierdo de la ecuación (5) a través de una sustitución siendo u=-2ka y -\frac { du }{ 2a } =dk se obtiene:
\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } -\frac { \pi }{ 2(2a) } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ u }du\quad }
\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } -\frac { 2\pi }{ 2(2a) } \int _{ 0 }^{ +\infty }{ { e }^{ u }dk\quad }
\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } -\frac { \pi }{ 2a } \left( \frac { 1 }{ \infty } -1 \right)
\begin{equation} \frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } \frac { \pi }{ 2a } \end{equation}
Ahora para resolver la integral del lado derecho de la ecuación (5) se utiliza el calculo de residuos .
\begin{equation} \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } =\quad 2\pi i\sum _{ j=1 }^{ n }{ Res\left[ f(z) \right] } \underset { z={ z }_{ o }j }{ } \end{equation}
Haciendo cambio de variable x=z se obtiene la raíz del denominador o el polo en la cual toma el siguiente valor z=ia.
\begin{equation} f\left( z \right) =\frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ }-ia^{ } \right) }^{ 2 }{ \left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ 2 } } \end{equation}
El residuo de esta función es la siguiente:
Res\left[ f\left( z \right) \right] =\frac { 1 }{ 1! } \lim _{ z->ia }{ \frac { d }{ dz } \left\{ { \left( { z }^{ }-ia^{ } \right) }^{ 2 }\frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ }-ia^{ } \right) }^{ 2 }{ \left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ 2 } } \right\} }
Res\left[ f\left( z \right) \right] =\lim _{ z->ia }{ \frac { d }{ dz } \left\{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ 2 } } \right\} }
Res\left[ f\left( z \right) \right] =\lim _{ z->ia }{ \left\{ { { -2a }^{ 2 }\left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ -3 } \right\} }
\begin{equation} Res\left[ f\left( z \right) \right] =\frac { 1 }{ 4ia } \end{equation}
Reemplazando la ecuación (9) en la (7).
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } =\quad 2\pi i\left( \frac { 1 }{ 4ia } \right)
Por lo tanto la solución es:
\begin{equation} \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } =\frac { \pi }{ 2a } \end{equation}
Ahora reemplazando la ecuación (10) y (6) en la ecuación (5) se puede apreciar que también se cumple el primer teorema de parseval.
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx }
\frac { \pi }{ 2a } =\frac { \pi }{ 2a }
C
f(x)=\quad \left[ 1\quad \left( \left| x \right| \le \quad a \right) \quad \right] \quad y\quad \left[ 0\quad \left( \left| x \right| >\quad a \right) \right] \quad donde\quad \left( a>0 \right) ) y F(k)=\quad \sqrt { \frac { 2 }{ \pi } } \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right)
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx }
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad \sqrt { \frac { 2 }{ \pi } } \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -a }^{ +a }{ { \left| 1 \right| }^{ 2 }dx }
\begin{equation} \frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right) }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -a }^{ +a }{ 1\quad dx } \end{equation}
Se resuelve la integral del lado izquierdo de la ecuación (11) utilizando la siguiente identidad { sin }^{ 2 }\left( ak \right) =\frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } .
\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad =\frac { 2 }{ \pi } } \left( \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { 2k }^{ 2 } } } dk\quad -\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { cos\left( 2ak \right) }{ { 2k }^{ 2 } } } dk \right)
\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad = } \frac { 2 }{ \pi } \quad \left( 0\quad -\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { cos\left( 2ak \right) }{ { 2k }^{ 2 } } } dk \right)
Integrando por partes la anterior ecuación,
\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad = } \frac { 2 }{ \pi } \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { cos\left( 2ak \right) }{ k } +2a\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { sin\left( 2ak \right) }{ k } } dk \right)
Evaluando desde menos infinito hasta infinito \frac { cos\left( 2ak \right) }{ k } = 0.
Ahora Sea u=2ak , \frac { du }{ 2a } =dk y k=\frac { u }{ 2a } se obtiene:
\begin{equation} \frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad = } \frac { 1 }{ \pi } \left( 2a\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { sin\left( u \right) }{ u } } du \right) \end{equation}
Utilizando la identidad de la siguiente integral especial ;
\begin{equation} \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { sin\left( u \right) }{ u } } du=\quad \pi \end{equation}
Se obtiene la siguiente solución:
\begin{equation} \frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right) }^{ 2 }dk\quad = } \quad 2a \end{equation}
Ahora reemplazando la ecuación (14) en la ecuación (11):
2a=\int _{ -a }^{ +a }{ 1\quad dx }
Por consiguiente, cumple el primer teorema de parseval.
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx }
2a =2a
