A \(f(x)=\quad N{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }\) y \(F(k)=\quad N\sqrt { \frac { 1 }{ 2\alpha } } { e }^{ \frac { -{ k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }\)
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx } $$
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad N\sqrt { \frac { 1 }{ 2\alpha } } { e }^{ \frac { -{ k }^{ 2 } }{ 4\alpha } } \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad N{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } } \right| }^{ 2 }dx } $$
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { N }^{ 2 }\frac { 1 }{ 2\alpha } { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { N }^{ 2 }{ e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx } $$
\begin{equation}
\frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } { N }^{ 2 }\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx } \quad (1)
\end{equation}
Resolviendo la integral del lado izquierdo de la ecuación (1) con una sustitución siendo \(u=\frac { k }{ \sqrt { 2\alpha } } \) y \(\sqrt { 2\alpha } du=dk\).
$$\frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \sqrt { 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -{ u }^{ 2 } }du\quad } $$
$$\frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -{ u }^{ 2 } }du\quad } $$
Utilizando la identidad de la siguiente integral especial ;
\begin{equation}
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -{ u }^{ 2 } }du }= \sqrt { \pi } \quad (2)
\end{equation}
Se obtiene la siguiente solución:
\begin{equation}
\frac { { N }^{ 2 } }{ 2\alpha } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ \frac { -{ 2k }^{ 2 } }{ 4\alpha } }dk\quad = } \frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi }
\end{equation}
Ahora resolviendo la integral del lado derecho de la ecuación (1)a través de una sustitución siendo \(w=\sqrt { 2\alpha } x\) y \(\frac { dw }{ \sqrt { 2\alpha } } =dx\).
$${ N }^{ 2 }\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx } =\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -{ w }^{ 2 } } }dw } $$
Utilizando la misma propiedad de la ecuación (2) se obtiene la siguiente solución:
\begin{equation}
{ N }^{ 2 }\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { { e }^{ -2\alpha { x }^{ 2 } } }dx } =\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi }
\end{equation}
Reemplazando la ecuación (3) y (4) en la ecuación (1) se verifica que se cumple satisfactoriamente el primer teorema de parseval.
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx } $$
$$\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi } =\frac { { N }^{ 2 } }{ \sqrt { 2\alpha } } \sqrt { \pi } $$
B. \(f(x)=\quad \frac { a }{ { x }^{ 2 }+a^{ 2 } } \) y
\(F(k)=\quad \sqrt { \frac { \pi }{ 2 } } { e }^{ -ka }\)
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx } $$
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad \sqrt { \frac { \pi }{ 2 } } { e }^{ -ka } \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \frac { a }{ { x }^{ 2 }+a^{ 2 } } \right| }^{ 2 }dx } $$
\begin{equation}
\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx }
\end{equation}
Se resuelve la integral del lado izquierdo de la ecuación (5) a través de una sustitución siendo \(u=-2ka \) y \(-\frac { du }{ 2a } =dk\) se obtiene:
$$\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } -\frac { \pi }{ 2(2a) } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ u }du\quad } $$
$$\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } -\frac { 2\pi }{ 2(2a) } \int _{ 0 }^{ +\infty }{ { e }^{ u }dk\quad } $$
$$\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } -\frac { \pi }{ 2a } \left( \frac { 1 }{ \infty } -1 \right) $$
\begin{equation}
\frac { \pi }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { e }^{ -2ka }dk\quad = } \frac { \pi }{ 2a }
\end{equation}
Ahora para resolver la integral del lado derecho de la ecuación (5) se utiliza el calculo de residuos .
\begin{equation}
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } =\quad 2\pi i\sum _{ j=1 }^{ n }{ Res\left[ f(z) \right] } \underset { z={ z }_{ o }j }{ }
\end{equation}
Haciendo cambio de variable \(x=z\) se obtiene la raíz del denominador o el polo en la cual toma el siguiente valor \(z=ia\).
\begin{equation}
f\left( z \right) =\frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } =\frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ }-ia^{ } \right) }^{ 2 }{ \left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ 2 } }
\end{equation}
El residuo de esta función es la siguiente:
$$Res\left[ f\left( z \right) \right] =\frac { 1 }{ 1! } \lim _{ z->ia }{ \frac { d }{ dz } \left\{ { \left( { z }^{ }-ia^{ } \right) }^{ 2 }\frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ }-ia^{ } \right) }^{ 2 }{ \left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ 2 } } \right\} } $$
$$Res\left[ f\left( z \right) \right] =\lim _{ z->ia }{ \frac { d }{ dz } \left\{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ 2 } } \right\} } $$
$$Res\left[ f\left( z \right) \right] =\lim _{ z->ia }{ \left\{ { { -2a }^{ 2 }\left( { z }^{ }+ia^{ } \right) }^{ -3 } \right\} } $$
\begin{equation}
Res\left[ f\left( z \right) \right] =\frac { 1 }{ 4ia }
\end{equation}
Reemplazando la ecuación (9) en la (7).
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } =\quad 2\pi i\left( \frac { 1 }{ 4ia } \right) $$
Por lo tanto la solución es:
\begin{equation}
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { a^{ 2 } }{ { \left( { x }^{ 2 }+a^{ 2 } \right) }^{ 2 } } dx } =\frac { \pi }{ 2a }
\end{equation}
Ahora reemplazando la ecuación (10) y (6) en la ecuación (5) se puede apreciar que también se cumple el primer teorema de parseval.
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx } $$
$$\frac { \pi }{ 2a } =\frac { \pi }{ 2a } $$
C
\(f(x)=\quad \left[ 1\quad \left( \left| x \right| \le \quad a \right) \quad \right] \quad y\quad \left[ 0\quad \left( \left| x \right| >\quad a \right) \right] \quad donde\quad \left( a>0 \right) )\) y \(F(k)=\quad \sqrt { \frac { 2 }{ \pi } } \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right) \)
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx } $$
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| \quad \sqrt { \frac { 2 }{ \pi } } \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -a }^{ +a }{ { \left| 1 \right| }^{ 2 }dx } $$
\begin{equation}
\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right) }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -a }^{ +a }{ 1\quad dx }
\end{equation}
Se resuelve la integral del lado izquierdo de la ecuación (11) utilizando la siguiente identidad \({ sin }^{ 2 }\left( ak \right) =\frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \) .
$$\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad =\frac { 2 }{ \pi } } \left( \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { 2k }^{ 2 } } } dk\quad -\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { cos\left( 2ak \right) }{ { 2k }^{ 2 } } } dk \right) $$
$$\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad = } \frac { 2 }{ \pi } \quad \left( 0\quad -\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { cos\left( 2ak \right) }{ { 2k }^{ 2 } } } dk \right) $$
Integrando por partes la anterior ecuación,
$$\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad = } \frac { 2 }{ \pi } \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { cos\left( 2ak \right) }{ k } +2a\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { sin\left( 2ak \right) }{ k } } dk \right) $$
Evaluando desde menos infinito hasta infinito \(\frac { cos\left( 2ak \right) }{ k } = 0\).
Ahora Sea \(u=2ak\) , \(\frac { du }{ 2a } =dk\) y \(k=\frac { u }{ 2a } \) se obtiene:
\begin{equation}
\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \left( \frac { 1-cos\left( 2ak \right) }{ 2 } \right) dk\quad = } \frac { 1 }{ \pi } \left( 2a\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { sin\left( u \right) }{ u } } du \right)
\end{equation}
Utilizando la identidad de la siguiente integral especial ;
\begin{equation}
\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ \frac { sin\left( u \right) }{ u } } du=\quad \pi
\end{equation}
Se obtiene la siguiente solución:
\begin{equation}
\frac { 2 }{ \pi } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left( \frac { sin\left( ak \right) }{ k } \right) }^{ 2 }dk\quad = } \quad 2a
\end{equation}
Ahora reemplazando la ecuación (14) en la ecuación (11):
$$2a=\int _{ -a }^{ +a }{ 1\quad dx } $$
Por consiguiente, cumple el primer teorema de parseval.
$$\int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| F(k) \right| }^{ 2 }dk\quad = } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ { \left| f(x) \right| }^{ 2 }dx } $$
$$2a =2a $$