112. Un planeta extrapolar (que está fuera del Sistema Solar) puede detectarse al observar la oscilación que le produce el planeta a la estrella alrededor de la cual gira. Suponga que un planeta así de masa $m_{\mathrm{B}}$ gira en torno a su estrella de masa $m_{\mathrm{A}}$. Si ninguna fuerza externa actúa sobre este sencillo sistema de dos objetos, entonces su CM es estacionario. Suponga que $m_{\mathrm{A}}$ y $m_{\mathrm{B}}$ describen órbitas circulares con radios $r_{\mathrm{A}}$ y $r_{\mathrm{B}}$ alrededor del CM del sistema. $a$ ) Demuestre que
$$
r_{\mathrm{A}}=\frac{m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}} r_{\mathrm{B}} .
$$
b) Ahora considere una estrella semejante al Sol y un solo planeta con las mismas características de Júpiter. Esto es, $m_{\mathrm{B}}=$ $1.0 \times 10^{-3} m_{\mathrm{A}} ; \mathrm{y}$ el planeta tiene un radio orbital de $8.0 \times 10^{11} \mathrm{~m}$. Determine el radio $r_{\mathrm{A}}$ de la órbita de la estrella alrededor del CM del sistema. $c$ ) Cuando se observa desde la Tierra, el sistema distante parece oscilar a lo largo de una distancia de $2 r_{\mathrm{A}}$. Si los astrónomos son capaces de detectar los desplazamientos angulares $\theta$ de un milisegundo de arco (1 segundo de arco = ( $\frac{1}{3600}$ de un grado), ¿desde qué distancia $d$ (en años-luz) podrá detectarse la oscilación de la estrella (1 año-luz $=9.46 \times 10^{15}$ $\mathrm{m}) ? d$ ) La estrella más cercana al Sol está aproximadamente a 4 años-luz. Suponiendo que las estrellas están distribuidas de manera uniforme en nuestra región de la Vía Láctea, ¿a cuántas estrellas podrá aplicarse esta técnica para buscar sistemas planetarios más allá del Sistema Solar?