23.88. En cierta región, existe una distribución de carga con simetría esférica pero no uniforme. Es decir, la densidad volumétrica de carga r(r) depende de la distancia r del centro de la distribución, pero no de los ángulos polares esféricos u y f. El potencial eléctrico V(r) debido a esta carga es
V(r) = c r0a2 18P0 B1 2 31 r a 2 2 1 21 r a 2 3 R 0 para r # a para r $ a
donde r0 es una constante con unidades de C/m^3, y a es una constante en unidades de metros. a) Obtenga expresiones para las regiones r # a y r $ a. [Sugerencia: utilice la ecuación (23.23).] Explique por qué E sólo tiene una componente radial. b) Obtenga una expresión para r(r) en cada una de las dos regiones r # a y r $ a. [Sugerencia: utilice la ley de Gauss para dos corazas esféricas, una de radio r y otra de radio r + dr. La carga contenida en la coraza esférica infinitesimal de radio dr es dq = 4pr 1 r 1r2 dr.] c) Demuestre que la carga neta contenida en el volumen de una esfera de radio mayor o igual que a es cero. [Sugerencia: integre las expresiones obtenidas en el inciso b) para r(r) sobre un volumen esférico de radio mayor o igual que a.] ¿Este resultado es congruente con el campo eléctrico para r >a que se calculó en el inciso a)?