23.91. Experimento de la gota de aceite de Millikan. La carga de un electrón fue medida por primera vez por el físico estadounidense Robert Millikan entre 1909 y 1913. En su experimento roció gotas muy finas (alrededor de $10^{-4} \mathrm{~mm}$ de diámetro) de aceite en el espacio entre dos placas paralelas en posición horizontal separadas por una distancia $d$. Mantuvo una diferencia de potencial $V_{A B}$ entre las placas paralelas, lo que ocasionó entre ellas un campo eléctrico dirigido hacia abajo. Algunas de las gotas de aceite adquirieron carga negativa por efecto de la fricción o la ionización del aire circundante por medio de rayos $x$ o radiactividad. Se observaron las gotas con un microscopio. a) Demuestre que una gota de aceite de radio $r$ que esté en reposo entre las placas seguirá en reposo si la magnitud de la carga es
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q=\frac{4 \pi}{3} \frac{\rho r^{3} g d}{V_{A B}}
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donde $\rho$ es la densidad del aceite. (Ignore la fuerza de flotabilidad del aire.) Al ajustar $V_{A B}$ para mantener una gota dada en reposo, es posible determinar la carga sobre ésta, si se conoce su radio. $b$ ) Las gotas de aceite eran demasiado pequeñas como para medir sus radios en forma directa. En vez de ello, Millikan determinó $r$ recortando el campo eléctrico y midiendo la rapidez terminal $v_{1}$ de la gota al caer. (En la sección $5.3$ se estudió el concepto de rapidez terminal.) La fuerza de la viscosidad $F$ de una esfera de radio $r$ que se desplaza con rapidez $v$ a través de un fluido con viscosidad $\eta$ está dada por la ley de Stokes: $F=6 \pi \eta r v$. Cuando la gota cae con velocidad $v_{1}$, la fuerza de la viscosidad compensa exactamente el peso $w=m g$ de la gota. Demuestre que la magnitud de la carga sobre la gota es
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q=18 \pi \frac{d}{V_{A B}} \sqrt{\frac{\eta^{3} v_{\mathrm{t}}^{3}}{2 \rho g}}
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Dentro de los límites del error experimental, cada una de los miles de gotas que Millikan y sus colaboradores midieron que tenía una carga igual a cierto múltiplo entero pequeño de una carga básica $e$. Es decir, encontraron gotas con cargas $\pm 2 e, \pm 5 e$, etcétera, pero no valores tales como $0.76 e$ o $2.49 e$. Una gota con carga $-e$ adquiría un electrón adicional; si su carga era $-2 e$, había adquirido dos electrones más, y así sucesivamente. $c$ ) En el aparato de Millikan para este experimento, se observó que una gota de aceite con carga caía $1.00 \mathrm{~mm}$ con rapidez constante en $39.3 \mathrm{~s} \mathrm{si} V_{A B}=0$. La misma gota podía estar en reposo entre las dos placas separadas $1.00 \mathrm{~mm}$ si $V_{A B}=9.16 \mathrm{~V}$. ¿Cuántos electrones en exceso había adquirido la gota, y cuál era su radio? La viscosidad del aire es $1.81 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}$, y la densidad del aceite es de $824 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$