23.91. Experimento de la gota de aceite de Millikan. La carga de un electrón fue medida por primera vez por el físico estadounidense Robert Millikan entre 1909 y 1913. En su experimento roció gotas muy finas (alrededor de 10^{-4} \mathrm{~mm} de diámetro) de aceite en el espacio entre dos placas paralelas en posición horizontal separadas por una distancia d. Mantuvo una diferencia de potencial V_{A B} entre las placas paralelas, lo que ocasionó entre ellas un campo eléctrico dirigido hacia abajo. Algunas de las gotas de aceite adquirieron carga negativa por efecto de la fricción o la ionización del aire circundante por medio de rayos x o radiactividad. Se observaron las gotas con un microscopio. a) Demuestre que una gota de aceite de radio r que esté en reposo entre las placas seguirá en reposo si la magnitud de la carga es
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q=\frac{4 \pi}{3} \frac{\rho r^{3} g d}{V_{A B}}
$$
donde \rho es la densidad del aceite. (Ignore la fuerza de flotabilidad del aire.) Al ajustar V_{A B} para mantener una gota dada en reposo, es posible determinar la carga sobre ésta, si se conoce su radio. b ) Las gotas de aceite eran demasiado pequeñas como para medir sus radios en forma directa. En vez de ello, Millikan determinó r recortando el campo eléctrico y midiendo la rapidez terminal v_{1} de la gota al caer. (En la sección 5.3 se estudió el concepto de rapidez terminal.) La fuerza de la viscosidad F de una esfera de radio r que se desplaza con rapidez v a través de un fluido con viscosidad \eta está dada por la ley de Stokes: F=6 \pi \eta r v. Cuando la gota cae con velocidad v_{1}, la fuerza de la viscosidad compensa exactamente el peso w=m g de la gota. Demuestre que la magnitud de la carga sobre la gota es
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q=18 \pi \frac{d}{V_{A B}} \sqrt{\frac{\eta^{3} v_{\mathrm{t}}^{3}}{2 \rho g}}
$$
Dentro de los límites del error experimental, cada una de los miles de gotas que Millikan y sus colaboradores midieron que tenía una carga igual a cierto múltiplo entero pequeño de una carga básica e. Es decir, encontraron gotas con cargas \pm 2 e, \pm 5 e, etcétera, pero no valores tales como 0.76 e o 2.49 e. Una gota con carga -e adquiría un electrón adicional; si su carga era -2 e, había adquirido dos electrones más, y así sucesivamente. c ) En el aparato de Millikan para este experimento, se observó que una gota de aceite con carga caía 1.00 \mathrm{~mm} con rapidez constante en 39.3 \mathrm{~s} \mathrm{si} V_{A B}=0. La misma gota podía estar en reposo entre las dos placas separadas 1.00 \mathrm{~mm} si V_{A B}=9.16 \mathrm{~V}. ¿Cuántos electrones en exceso había adquirido la gota, y cuál era su radio? La viscosidad del aire es 1.81 \times 10^{-5} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, y la densidad del aceite es de 824 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
