40. (II) Demuestre que, en general, para cualquier colisión elástica frontal unidimensional, las rapideces después de la colisión son $$ \begin{aligned} &v_{\mathrm{B}}^{\prime}=v_{\mathrm{A}}\left(\frac{2 m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right)+v_{\mathrm{B}}\left(\frac{m_{\mathrm{B}}-m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right) \\ &v_{\mathrm{A}}^{\prime}=v_{\mathrm{A}}\left(\frac{m_{\mathrm{A}}-m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right)+v_{\mathrm{B}}\left(\frac{2 m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right) \end{aligned} $$ y donde $v_{\mathrm{A}}$ y $v_{\mathrm{B}}$ son las rapideces iniciales de los dos objetos de masas $m_{\mathrm{A}}$ y $m_{\mathrm{B}}$.

 40. (II) Demuestre que, en general, para cualquier colisión elástica frontal unidimensional, las rapideces después de la colisión son
$$
\begin{aligned}
&v_{\mathrm{B}}^{\prime}=v_{\mathrm{A}}\left(\frac{2 m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right)+v_{\mathrm{B}}\left(\frac{m_{\mathrm{B}}-m_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right) \\
&v_{\mathrm{A}}^{\prime}=v_{\mathrm{A}}\left(\frac{m_{\mathrm{A}}-m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right)+v_{\mathrm{B}}\left(\frac{2 m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}\right)
\end{aligned}
$$
y
donde $v_{\mathrm{A}}$ y $v_{\mathrm{B}}$ son las rapideces iniciales de los dos objetos de masas $m_{\mathrm{A}}$ y $m_{\mathrm{B}}$.