47. (II) Un detector de Hall, que se emplea para medir la intensidad del campo magnético, está formado por un tabique rectan gular de material (con densidad de electrones libres $n$ ) con ancho $d$ y grosor $t, \mathrm{y}$ conduce una corriente $I$ a lo largo de su longitud $\ell$. Se introduce el tabique en un campo magnético de magnitud $B$ orientado de manera perpendicular a su cara rectangular (de área $\ell d$ ), de manera que se produce una fem de Hall $\mathscr{E}_{\mathrm{H}}$ a través de su ancho $d$. La sensibilidad magnética del detector, definida como $K_{\mathrm{H}}=\mathscr{E}_{\mathrm{H}} / I B$, indica la magnitud de la fem de Hall que se obtiene para un determinado campo magnético aplicado. Un tabique con un valor grande de $K_{H}$ es un buen candidato para usarse como detector de Hall. a) Demuestre que $K_{\mathrm{H}}=1 / e n t$. Así, un buen detector de Hall tiene valores pequeños tanto de $n$ como de $t . b$ ) Como posibles candidatos para detectores de Hall, considere un metal típico y un semiconductor (con impurezas) con $n$ aproximadamente igual a $1 \times 10^{29}$ $\mathrm{m}^{-3}$ y $3 \times 10^{22} \mathrm{~m}^{-3}$, respectivamente. Puesto que es posible fabricar un tabique semiconductor con un grosor de $0.15 \mathrm{~mm}$ ¿qué tan delgado (en $\mathrm{nm}$ ) tendría que ser un tabique de metal para producir un valor de $K_{H}$ igual al del tabique semiconductor? Compare el grosor de este tabique de metal con el tamaño típico de un átomo de metal de $0.3 \mathrm{~nm}$. c) Para el tabique semiconductor típico descrito en el inciso $b$ ), ¿cuál es el valor esperado para $\mathscr{E}_{\mathrm{H}}$ cuando / = $100 \mathrm{~mA}$ y $B=0.1 \mathrm{~T}$ ?