73. El diseño de una trampa atómica magneto-óptica requiere un campo magnético $B$ que sea directamente proporcional a la posición $x$ a lo largo de un eje. Tal campo perturba la absorción de luz láser por parte de los átomos en la forma necesaria para confinar espacialmente átomos en la trampa. Demostremos que bobinas "anti-Helmholtz" proporcionarán el campo necesario $B=C x$, donde $C$ es una constante. Las bobinas anti-Helmholtz son dos bobinas de alambre circular idénticas, cada una con radio $R$ y $N$ vueltas, que conducen corriente $I$ en direcciones opuestas (figura 28-62). Las bobinas comparten un eje común [definido como el eje $x$, con $x=0$ en el punto medio (0) entre las bobinas]. Suponga que los centros de las bobinas están separados por una distancia igual al radio $R$ de las bobinas. a) Demuestre que el campo magnético en la posición $x$ a lo largo del eje $x$ está dada por
$B(x)=\frac{4 \mu_{0} N I}{R}\left\{\left[4+\left(1-\frac{2 x}{R}\right)^{2}\right]^{-\frac{3}{2}}-\left[4+\left(1+\frac{2 x}{R}\right)^{2}\right]^{-\frac{3}{2}}\right\} .$
b) Para pequeñas excursiones desde el origen, donde $|x|<<R$, demuestre que el campo magnético está dado por $B \approx C x$, donde la constante $C=48 \mu_{0} N I / 25 \sqrt{5} R^{2} .$ c) Para una óptima captura de átomos, $d B / d x$ debe ser aproximadamente $0.15 \mathrm{~T} / \mathrm{m}$. Suponga que una trampa de átomos usa bobinas anti-Helmholtz $\operatorname{con} R=4.0 \mathrm{~cm}$ y $N=150$. ¿Qué corriente debe fluir a través de las bobinas? [La separación de bobina igual al radio de bobina, como se supone en este problema, no es un requisito estricto para las bobinas anti-Helmholtz].