27.84. Obtención de la ecuación (27.26) para una espira circular de corriente. Un anillo de alambre yace en el plano $x y$ con su centro en el origen. El anillo conduce una corriente $I$ en sentido antihorario (fi- gura 27.72). Un campo magnético Figura 27.72 Problema 27.84. uniforme $\boldsymbol{B}$ está en la dirección $+x, \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=B_{x}

 27.84. Obtención de la ecuación (27.26) para una espira circular de corriente. Un anillo de alambre yace en el plano $x y$ con su centro en el origen. El anillo conduce una corriente $I$ en sentido antihorario (fi- gura 27.72). Un campo magnético Figura 27.72 Problema 27.84. uniforme $\boldsymbol{B}$ está en la dirección $+x, \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=B_{x} \hat{\imath}$. (El resultado se extiende con facilidad a $\vec{B}$ en una dirección arbitraria.) a) En la figura 27.72, demuestre que el elemento $d \vec{l}=R d \theta(-\operatorname{sen} \theta \hat{\imath}+\cos \theta \hat{\jmath}), \mathrm{y}$ encuentre $d \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=I d \vec{\imath} \times \overrightarrow{\boldsymbol{B}}$. b) Integre $d \overrightarrow{\boldsymbol{F}}$ alrededor de la espira para demostrar que la fuerza neta es igual a cero.c) A partir del inciso a), encuentre $d \vec{\tau}=\vec{r} \times d \overrightarrow{\boldsymbol{F}}$, donde $\vec{r}=R(\cos \theta \hat{l}+\operatorname{sen} \theta \hat{\jmath})$ es el vector que va del centro de la espira al elemento $d \vec{l}$. (Observe que $d \overrightarrow{\boldsymbol{l}}$ es perpendicular a $\overrightarrow{\boldsymbol{r}}$.) $d$ ) Integre $d \vec{\tau}$ sobre la espira para encontrar el par de torsión total $\vec{\tau}$ sobre la espira. Demuestre que el resultado se puede escribir como $\vec{\tau}=\vec{\mu} \times \vec{B}$, donde $\mu=I A .\left(\right.$ Nota: $\int \cos ^{2} x d x=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \operatorname{sen} 2 x, \int \operatorname{sen}^{2} x d x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \operatorname{sen} 2 x$, $\left.y \int \operatorname{sen} x \cos x d x=\frac{1}{2} \operatorname{sen}^{2} x .\right)$