39.46. Para explorar la estructura interior del núcleo atómico se usan electrones de alta rapidez. Para ellos sigue siendo válida la ecuación ⋋ = h/p, pero se debe usar la ecuación relativista de la cantidad de movimiento p=mv/√{1-v2/c2. a) Demuestre que la rapidez de un electrón cuya longitud de onda ⋋ de De Broglie es
v= \frac{c}{\sqrt{1+(mc\lambda /h)^{2}}}
b) la cantidad h/mc es igual a 2.426x 10^{-12} m. [Como vimos en la sección 38.7, esta misma cantidad aparece en la ecuación (38.23), de la dispersión de Compton de fotones por electrones.] Si ⋋ es pequeña en comparación con h/mc, el denominador en la ecuación determinada en el inciso a) se acerca a la unidad, y la rapidez v se acerca mucho a c. En este caso, conviene escribir v= (1-\Δ )c v y expresar la rapidez del electrón en función de\Delta y no de v. Deduzca una ecuación para \Delta que sea válida cuando ⋋≪ h/mc [Sugerencia: use el desarrollo del binomio (1+z)^{n}=1+nz+n(n-1)z^{2}/2+ ... válido para el caso |z|<1.] c) ¿Con qué rapidez se debe mover un electrón para que su longitud de onda de De Broglie sea de 1.00 x 10^{-15} m, comparable con el tamaño de un protón? Exprese su respuesta en la forma v =(1 - \Delta)c, y determine el valor de Δ