18.92. Atmósfera de la Tierra. En la troposfera, la parte de la atmósfera que se extiende desde la superficie hasta una altura aproximada de $11 km$, la temperatura no es uniforme, sino que disminuye al aumentar la altura. $a$ ) Demuestre que si la variación de temperatura se aproxima con la relación lineal
$T=T_{0}-\alpha y$
donde $T_{0}$ es la temperatura en la superficie terrestre y $T$ es la temperatura a una altura $y$, la presión $p$ a la altura $y$ está dada por
$\ln \left(\frac{p}{p_{0}}\right)=\frac{M g}{R \alpha} \ln \left(\frac{T_{0}-\alpha y}{T_{0}}\right)$
donde $p_{0}$ es la presión en la superficie terrestre y $M$ es la masa molar del aire. $El$ coeficiente $\alpha$ se denomina razón de decaimiento de temperatura, y varía con las condiciones atmosféricas; un valor medio sería $0.6 C ^{\circ} / 100 m . b$ ) Demuestre que el resultado anterior se reduce al resultado del ejemplo $18.4$ (sección 18.1) en el límite en el que $\alpha \rightarrow 0$. c) Con $\alpha=0.6 C ^{\circ} / 100 m$, calcule $p$ para $y=8863 m$ y compare su respuesta con el resultado del ejemplo 18.4. Tome $T_{0}=288 K$ y $p_{0}=1.00 atm$