39.64. Función de onda dependiente del tiempo para una partícula libre. Un ejemplo de una función de onda dependiente del tiempo es el de una partícula libre [una para la cual U(x)= 0 para toda x] de energía E y componente x de cantidad de movimiento p. A partir de las relaciones de De Broglie (véase la sección 39.1), esa partícula tiene asociada una frecuencia f = E/h y una longitud de onda λ = h/p. Una primera aproximación razonable para la función de onda dependiente del tiempo para esa partícula es ѱ(x, t) = A cos (kx - wt), siendo A constante, w= 2\ 𝜋f es la frecuencia angular y k = 2p/λ es el número de onda. Es la misma función que usamos para describir una onda mecánica [véase la ecuación (15.7)] o una onda electromagnética que se propaga en la dirección x [véase la ecuación (32.16)]. a) Demuestre que w =Eh,k=p/h, y w=hk^{2}/2m (Sugerencia: la energía sólo es cinética, así que E=p^{2}/2mb) Para comprobar esta aproximación de la función de onda dependiente del tiempo, sustituya ѱ(x, t) =Acos(kx- wt) en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (problema 39.63) con U(x) =0 (para que la partícula sea libre). Demuestre que esta aproximación de ѱ(x, t) no satisface esta ecuación, por lo que no es una función de onda adecuada para una partícula libre. c) Use el procedimiento descrito en el inciso b) para demostrar que una segunda aproximación, ѱ(x,t)=Asen(kx - wt) tampoco es una función de onda adecuada para una partícula libre. d) Considere una combinación de las funciones propuestas en los incisos b) y c):
\Psi(x,t)=Acos(kx- wt) + Bsen(kx- wt)
Use el procedimiento descrito en el inciso b) para demostrar que esta función de onda sí es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, con U (x)=0, , pero sólo si B = iA. [Sugerencia: para satisfacer la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para todas x y t, deben ser iguales los coeficientes de cos(kx -wt) en ambos lados de la ecuación. Lo mismo sucede con los coeficientes de sen(kx- wt)en ambos lados de la ecuación.] Es un ejemplo del resultado general que las funciones de onda dependientes del tiempo siempre tienen tanto una parte real como una parte imaginaria.