24.74. El capacitor con aire entre las placas paralelas que se ilustra en la figura 24.40 consiste en dos placas conductoras horizontales de área igual A. La placa inferior descansa en un apoyo fijo, y la superior está sostenida por cuatro resortes con constante de elasticidad $k$, cada uno abicado en una de las cuatro esquinas de la placa, como se observa en la figura. Cuando no tienen carga, las

 24.74. El capacitor con aire entre las placas paralelas que se ilustra en la figura 24.40 consiste en dos placas conductoras horizontales de área igual A. La placa inferior descansa en un apoyo fijo, y la superior está sostenida por cuatro resortes con constante de elasticidad $k$, cada uno abicado en una de las cuatro esquinas de la placa, como se observa en la figura. Cuando no tienen carga, las placas están separadas por una distancia $z_{0}$. Se conecta una batería a las placas y produce una diferencia de potencial $V$ entre ellas. Esto ocasiona que la separación entre las placas disminuya a $z$. Ignore cualquier efecto de los bordes. a) Demuestre que la fuerza electrostática entre las placas con carga tiene una magnitud de $\epsilon_{0} A V^{2} / 2 z^{2}$. (Sugerencia: consulte el ejercicio 24.29.) b) Obtenga una expresión que relacione la separación $z$ entre las placas con la diferencia de potencial $V$. La ecuación resultante será cúbica con respecto a $z \cdot c)$ Dados los valores $A=0.300 \mathrm{~m}^{2}, z_{0}=1.20 \mathrm{~mm}$, $k=25.0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$ y $V=120 \mathrm{~V}$, encuentre los dos valores de $z$ para los que la placa superior estará en equilibrio. (Sugerencia: es posible resolver la ecuación cúbica insertando un valor de ensayo de $z$ en la ecuación, y después ajustar la conjetura hasta que se satisfaga la ecuación a tres cifras significativas. La ubicación gráfica de las raíces de la ecuación cúbica ayuda a elegir los valores iniciales de z para este procedimiento por ensayo y error. Una raíz de la ecuación cúbica tiene un valor negativo no físico.) d) Para cada uno de los dos valores de $z$ encontrados en el inciso $c$ ), ¿el equilibrio es estable o inestable? Para el equilibrio estable, un desplazamiento pequeño del objeto dará lugar a una fuerza neta que tiende a regresar al objeto a la posición de equilibrio. Para el equilibrio inestable, un desplazamiento pequeño originará una fuerza neta que aleje al objeto aún más del equilibrio